Distancia de un punto a un plano.

Problema: Distancia de un punto a un plano

π

: 2x + y + 2z = 8 y el punto P = (10, 0, 10).
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, la distancia del punto P al plano

π

Una solución razonada.

P = (10, 0, 10)

perteneciera al plano

π

, la distancia del punto

P

π

sería cero. Pero si sustituimos las coordenadas de

P

en la ecuación del plano tenemos:

2 \cdot 10 + 0 + 2 \cdot 10 = 20 + 0 + 20 = 40 \neq 8,

P

no pertenece al plano.

Imaginemos una recta

r

perpendicular al plano

π

que pasa por el punto

P

y que corta al plano

π

P'

. El segmento de esta recta que va desde el punto

P

P'

será la distancia que nos piden.
Pero para hallar esta recta, antes debemos conocer su dirección, la cual será la de un vector normal (perpendicular) al plano. Un vector normal al plano es

(2, 1, 2)

•

A x + B y + C z = D

. Dos vectores que estén contenidos en este plano pueden ser linealmente dependientes si son paralelos, o pueden ser linealmente independientes si no son paralelos, pero todos los vectores que sean perpendiculares al plano son dependientes y tienen una misma dirección. Se probará que el vector de componentes

(A, B, C)

es perpendicular al plano:

A x + B y + C z = D (1)

P = (a, b, c)

un punto del plano. Como este punto tiene que satisfacer la ecuación del plano tendremos:

A a + B b + C c = D (2)

Restando de la igualdad

(1)

(2)

nos queda la expresión:

A (x - a) + B (y - b) + C (z - c) = 0 (3)

Pero la expresión

(3)

es la de un producto escalar de los vectores

(A, B, C)

(x - a, y - b, z - c)

. Como este producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares, y el vector

(A, B, C)

es perpendicular (o normal) al plano.
Lo anterior aplicado a este problema nos dice que el vector

(2, 1, 2)

es perpendicular al plano

2 x + y + 2 z = 8

. La recta que pasa por el punto

(10, 0, 10)

y tiene la dirección

(2, 1, 2)

(x, y, z) = (10, 0, 10) + λ (2, 1, 2),

ecuación vectorial en coordenadas cartesianas, la cual da lugar a las ecuaciones paramétricas:

x = 10 + 2 λ

y = λ

z = 10 + 2 λ

Eliminando el parámetro

λ

de las tres ecuaciones anteriores llegamos a las ecuaciones:

x = 10 + 2 y

z = 10 + 2 y

La intersección de recta y plano la hallaremos entonces resolviendo el sistema formado por las dos últimas ecuaciones y la ecuación que nos dan del plano, esto es:

x = 10 + 2 y

z = 10 + 2 y

2 x + y + 2 z = 8

sistema que, al resolverlo nos da el punto:

(\frac{26}{9}, \frac{- 32}{9}, \frac{26}{9})

. Todo lo que queda ahora es resolver la distancia entre los puntos

(10, 0, 10)

(\frac{26}{9}, \frac{- 32}{9}, \frac{26}{9})

que acabamos de hallar.

d = \sqrt{{(10 - \frac{26}{9})}^{2} + {(0 - \frac{- 32}{9})}^{2} + {(10 - \frac{26}{9})}^{2}} =

= \sqrt{{(\frac{90 - 26}{9})}^{2} + {(\frac{32}{9})}^{2} + {(\frac{90 - 26}{9})}^{2}} =

= \sqrt{\frac{6 4^{2}}{9^{2}} + \frac{3 2^{2}}{9^{2}} + \frac{6 4^{2}}{9^{2}}} = \sqrt{\frac{6 4^{2} + 3 2^{2} + 6 4^{2}}{9^{2}}} = \sqrt{\frac{9216}{9^{2}}} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3} .

Solución empleando la fórmula.

A este mismo resultado se llega aplicando la fórmula siguiente, que aparece demostrada en los libros de texto: La distancia de un punto

P (a, b, c)

a un plano de ecuación

A x + B y + C z + D = 0

está dada por la siguiente fórmula:

d = \frac{| A a + B b + C c + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

Aplicando la fórmula, y teniendo en cuenta que la ecuación del plano para aplicarla es

2 x + y + 2 z - 8 = 0

P = (10, 0, 10)

d = \frac{| 2 \cdot 10 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 10 - 8 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{32}{3}