Se da el plano $\pi :2x+y+2z=8$ y el punto $P=\left(10,0,10\right)$
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A,B$ y $C$, obtenidos al hallar la intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas.
b) El volumen del tetraedro cuyos vértices son $P,A,B$ y $C$.


$a)$ Los puntos $A,B$ y $C$, que son los puntos de corte con los ejes $x,y,z$, respectívamente, se obtienen de la siguiente manera:
En el punto de intersección del plano con el eje $x$, se verifica claramente que $y=0$ y $z=0$. El punto $A=\left(x,0,0\right)$ del cual aún desconocemos $x$ tiene que verificar la ecuación del plano, luego: $$2x+0+2\cdot 0=8\to 2x=8\to x=4.$$Repitiendo el razonamiento anterior, para obtener el punto $B=\left(0,y,0\right)$, $$2\cdot 0+y+2\cdot 0=8\to y=8.$$Y, finalmente, para hallar el punto $C=\left(0,0,z\right),$ $$2\cdot 0+0+2z=8\to 2z=8\to z=4.$$Los puntos son: $A\left(4,0,0\right),B\left(0,8,0\right)$ y $C\left(0,0,4\right)$. Sean $$\stackrel{⟶}{AB}=\left(0,8,0\right)-\left(4,0,0\right)=\left(-4,8,0\right)$$$$\stackrel{⟶}{AC}=\left(0,0,4\right)-\left(4,0,0\right)=\left(-4,0,4\right)$$Sabemos que el módulo del producto vectorial $\stackrel{⟶}{AB}\wedge \stackrel{⟶}{AC}$ es el área del paralelogramo que forman estos vectores, de manera que el área del triángulo pedida será la mitad. Ahora,
$$\stackrel{⟶}{AB}\wedge \stackrel{⟶}{AC}=\left|\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\\ -4& 8& 0\\ -4& 0& 4\end{array}\right|=32e_1+16e_2+32e_3$$El módulo del vector anterior es: $$\sqrt{32^2+16^2+32^2}=\sqrt{2304}=48,$$con lo que el área del triángulo de vértices $A,B,C$ es la mitad de 48, es decir, 24 unidades de superficie, por ejemplo $m²$.


$b)$ Tenemos los puntos $P=\left(10,0,10\right),A=\left(4,0,0\right),B=\left(0,8,0\right)$ y $C=0,0,4)$, y formamos los vectores: $$\stackrel{⟶}{PA}=\left(4,0,0\right)-\left(10,0,10\right)=\left(-6,0,-10\right)$$$$\stackrel{⟶}{PB}=\left(0,8,0\right)-\left(10,0,10\right)=\left(-10,8,-10\right)$$$$\stackrel{⟶}{PC}=\left(0,0,4\right)-\left(10,0,10\right)=\left(-10,0,-6\right)$$El producto mixto de los vectores anteriores es el determinante: $$\stackrel{⟶}{PA}\cdot \left(\stackrel{⟶}{PB}\wedge \stackrel{⟶}{PC}\right)=\left|\begin{array}{ccc}-6& 0& -10\\ -10& 8& -10\\ -10& 0& 6\end{array}\right|=-512.$$Y el módulo de este producto mixto sabemos por el libro de texto que es el volumen del paralelepípedo que forman los vectores $\stackrel{⟶}{PA},\stackrel{⟶}{PB}$ y $\stackrel{⟶}{PC}$. Este módulo es el valor absoluto de -512, por lo cual el volumen del paralelepípedo sería 512 unidades de volumen.
También sabemos que en el paralelepípedo caben es decir, es posible inscribir, el volumen de seis tetraedros como el que consideramos de vértices $P,A,B,C$. El volumen del tetraedro pedido es

$\frac{512}{6}=\frac{256}{3}=85\text{'}\mathrm{333...}$ unidades de volumen.